Desenvolvimento Parte IV - Código Final

Nesta etapa, unimos o código em que fazemos o cálculo da Série de Fourier com código de modulação em amplitude (AM), e a modulação em frequência (FM), as quais servem apenas para sinais analógicos.

Com orientação da professora Débora, incluímos também a modulação para sinais digitais, utilizando a técnica de PSK (modulação por chaveamento de frequência) e ASK (modulação por chaveamento de amplitude).

Podemos ver o código final abaixo:

Abaixo, veremos exemplos destas modulações.

Modulação de um sinal digital

Seja a função descrita no gráfico abaixo:

Podemos ver a modulação desta função no vídeo abaixo:

Modulação de um sinal analógico

Seja a função descrita no gráfico abaixo:

Podemos ver a modulação desta função no vídeo abaixo:

Desenvolvimento Parte III - Modulação AM e FM

No código abaixo, podemos ver como é feito a Modulação em Amplitude (AM) e a Modulação em Frequência (FM)

No vídeo abaixo, é possível ver como o código é executado:

Desenvolvimento Parte II - Cálculo da Série de Fourier

No código abaixo, podemos ver como é feito o cálculo da Série de Fourier.

Como exemplo, seja a função exemplificada no gráfico abaixo:

Podemos ver como é feito o cálculo da Série de Fourier para esta função através do vídeo abaixo:

Desenvolvimento Parte I - Planejamento

Após descrever no primeiro bimestre toda a parte teorica do projeto, chegou a hora de "por a mão na massa".

Iremos utilizar os conceitos adquiridos até o momento na disciplina de Princípios de Comunicação para criar um código no Matlab que seja capaz de receber um sinal periódico (descrito através de uma ou mais funções matemáticas), transformá-lo na soma de senos e cossenos através da série de fourier, modula-lo na amplitude e na frequência (sinais AM e FM) e por fim representá-los em um gráfico.

Até a data de apresentação do projeto, estão previstas três aulas para desenvolvermos o código no Matlab. Assim, dividimos nosso cronograma em três etapas:

ETAPA 01 – Código Série de Fourier

Assim como descrevemos no diagrama de blocos (postagem do dia 14/03/14), inicialmente iremos investir tempo elaborando  um código capaz de receber um sinal qualquer, descrito por uma função matemática com os seus devidos intervalos de periodicidade, e transformá-lo em um sinal representado pela soma de senos e cossenos usando a Série de Fourier.

  

ETAPA 02 – Código Modulação AM e FM

Em seguida, iremos despreender energia para elaborar outro código capaz de modular um sinal senoidal na amplitude e na frequência, assim como mostrado abaixo:

ETAPA 03 – Código Final

Por fim, iremos escrever o terceiro e final código, o qual deverá compreender os dois códigos acima, ou seja, receber uma função qualquer, aplicar a transformada de fourier no mesmo e modulá-lo na frequência e amplitude.

Diagrama em Blocos - Código do Projeto

• Definir função que descreve o sinal transmitido
• Definir os intervalos onde a função é válida
• Denifir a periodicidade da função
• Calcular a série de fourier para o sinal a ser transmitido
• Imprimir os valores de Ao, An, Bn e g(t)
• Definir a frequência da onda portadora
• Definir a amplitude da onda portadora
• Calcular o sinal FM
• Calcular o sinal AM
• Imprimir sinal transmitido, portadora, FM e AM

Modulação de Sinais

A técnica de Modulação é conhecida como o processo de modificar as características de uma onda (portadora) afim de representar informações significativas.

Existem alguns tipos de modulação, dentre eles a analógica e a digital. Quando fazemos a modulação, podemos alterar a amplitude (AM),alterar a frequência (FM), dentre outras.

Modulação Analógica: Também conhecida como modulação de onda contínua, onde a portadora é uma onda cosenoinal, o sinal a ser modulado é do tipo analógico ou contínuo.
Este tipo de modulação é mais aplicado em modulações AM e FM.

Modulação em amplitude (AM): neste tipo de modulação, a amplitude da portadora originada pelo transmissor varia de acordo com o sinal em função do sinal de interesse, o qual é chamado de sinal modulador. A frequência e a fase da portadora permanecem inalteradas.

Modulação em frequência (FM): já neste tipo de mdoulação, contrária à modulação AM, a amplitude da onda portadora é conservada, porém a sua frequência é alterada conforme as variações no sinal enviado.

A modulação FM é menos afetada por alguns tipos de interferências (como chuvas), além de ser melhor na transmissão de som, sinais de áudio e televisão e etc.

Modulação Digital: este tipo de modulação é usada quando estamos interessados em transmitir uma forma de onda ou mensagem, a qual faz parte de um conjunto finito de valores discretos.
As principais técnicas de modulação para sinais digitais são:

Modulação em amplitude por chaveamento;
Modulação em frequência por chaveamento;
Modulação em fase por chaveamento;
Por pulso.

Bibliografia:
Pizzotti, Ricardo. Modulação, PROTEVE, Midia eletrônica profissional. Disponível em: http://www.proteve.net/modulacao.html

Séries de Fourier

Em termos matemáticos, a Serie de Fourier decompõe um sinal periódico (sinal que se repete decorrido um período T) na soma de um conjunto de funções de senos e cossenos, com o intuito de facilitar o estudo da função em questão no domínio da frequência.

Qualquer função pode ser respresentada em termos de senos e cossenos, já que sen(wo*t) e cos(wo*t) formam um conjunto ortogonal completo.

A série trigonométrica de Fourier é descrita por:

Onde:

O exemplo abaixo ilustra de forma mais prática as expressões acima.

- seja a saída digital de um osciloscópio (trigger) representada pelas funções e gráfico abaixo:

f(t) = t no intervalo de 0 à 2
f(t) = f(t + T)

- calculando os termos ao, an e bn, tem-se:

Ao = 1

                           2

                2 sin(pi n)  - 2 pi n sin(2 pi n)

An =      - ---------------------------------

                               2  2

                             pi  n

              sin(2 pi n) - 2 pi n cos(2 pi n)

Bn =      --------------------------------

                             2  2

                           pi  n

- a série trigonométrica de fourier para n=1, ou seja, para apenas uma harmônica será dada por:
f(t) = 1 - (5734161139222659*sin(pi*t))/9007199254740992 – (6325145425006033*cos(pi*t))/40564819207303340847894502572032

É possível notar que a série não se assemelha à função inicial, uma vez que expressa apenas uma relação de seno e cosseno. Entretanto, ao calcular a mesma série para um n= 5, tem-se:

f(t) = 1 - (6325145425006033*cos(2*pi*t))/40564819207303340847894502572032 - (395321589062877*cos(3*pi*t))/2535301200456458802993406410752 - (6325145425006033*cos(4*pi*t))/40564819207303340847894502572032 - (3162572712503017*cos(5*pi*t))/20282409603651670423947251286016 - (5734161139222659*sin(pi*t))/9007199254740992 - (5734161139222659*sin(2*pi*t))/18014398509481984 - (7645548185630211*sin(3*pi*t))/36028797018963968 - (5734161139222659*sin(4*pi*t))/36028797018963968 - (4587328911378127*sin(5*pi*t))/36028797018963968 – (6325145425006033*cos(pi*t))/40564819207303340847894502572032

Agora, a série de fourier já converge para a função inicial, mas ondulações ainda são perceptíveis na construção do gráfico. É possível diminuir esta ondulação a um nível muito baixo usando várias harmônicas (n>>) na construção da série de fourier, como mostra o gráfico abaixo com n = 50