Séries de Fourier

Em termos matemáticos, a Serie de Fourier decompõe um sinal periódico (sinal que se repete decorrido um período T) na soma de um conjunto de funções de senos e cossenos, com o intuito de facilitar o estudo da função em questão no domínio da frequência.

Qualquer função pode ser respresentada em termos de senos e cossenos, já que sen(wo*t) e cos(wo*t) formam um conjunto ortogonal completo.

A série trigonométrica de Fourier é descrita por:

Onde:

O exemplo abaixo ilustra de forma mais prática as expressões acima.

- seja a saída digital de um osciloscópio (trigger) representada pelas funções e gráfico abaixo:

f(t) = t no intervalo de 0 à 2
f(t) = f(t + T)

- calculando os termos ao, an e bn, tem-se:

Ao = 1

                           2

                2 sin(pi n)  - 2 pi n sin(2 pi n)

An =      - ---------------------------------

                               2  2

                             pi  n

              sin(2 pi n) - 2 pi n cos(2 pi n)

Bn =      --------------------------------

                             2  2

                           pi  n

- a série trigonométrica de fourier para n=1, ou seja, para apenas uma harmônica será dada por:
f(t) = 1 - (5734161139222659*sin(pi*t))/9007199254740992 – (6325145425006033*cos(pi*t))/40564819207303340847894502572032

É possível notar que a série não se assemelha à função inicial, uma vez que expressa apenas uma relação de seno e cosseno. Entretanto, ao calcular a mesma série para um n= 5, tem-se:

f(t) = 1 - (6325145425006033*cos(2*pi*t))/40564819207303340847894502572032 - (395321589062877*cos(3*pi*t))/2535301200456458802993406410752 - (6325145425006033*cos(4*pi*t))/40564819207303340847894502572032 - (3162572712503017*cos(5*pi*t))/20282409603651670423947251286016 - (5734161139222659*sin(pi*t))/9007199254740992 - (5734161139222659*sin(2*pi*t))/18014398509481984 - (7645548185630211*sin(3*pi*t))/36028797018963968 - (5734161139222659*sin(4*pi*t))/36028797018963968 - (4587328911378127*sin(5*pi*t))/36028797018963968 – (6325145425006033*cos(pi*t))/40564819207303340847894502572032

Agora, a série de fourier já converge para a função inicial, mas ondulações ainda são perceptíveis na construção do gráfico. É possível diminuir esta ondulação a um nível muito baixo usando várias harmônicas (n>>) na construção da série de fourier, como mostra o gráfico abaixo com n = 50